Indledning
I det følgende vil jeg vise, at man ved hjælp af den newtonske mekanik og kvantefysiske formler, der gælder for en foton, kan komme frem til formler, der stemmer overens med formler, der udledes i Einsteins generelle relativitetsteori. Vi vil betragte bevægelsen af en foton i et gravitostatisk felt. Vi finder, at både fotonens hastighed og den til fotonen hørende »dualistiske« bølgelængde afhænger af gravitationsfeltet.

Fotonbevægelse i et gravitostatisk felt
Vi betragter en kuglesymmetrisk aktiv gravitationel masse m, der i afstanden r fra centrum skaber et -felt givet ved:

(1)

hvor G er Newtons gravitationskonstant. Fotonens bevægelsesligning er givet ved Newtons 2. lov:

(2)

hvor er fotonens tidslige impulstilvækst, og m_f er dens gravitationelle masse, der ifølge Einsteins ækvivalensprincip er lig dens inertielle masse.
Partikelstørrelserne og m_f vil vi udtrykke ved den til fotonen hørende dualistiske bølgelængde.
Lad os benytte sprogbrugen et feltfrit vacuum; hermed menes et område af rummet, hvor der absolut ikke forekommer nogen form for felter og ej heller stof. Hvis vi tænker os en foton i et sådant feltfrit vacuum, da vil dens fart i forhold til et givet referencesystem være lig med den karakteristiske konstant c₀, der bl.a. indgår i den specielle relativitetsteoris formler. Hvis en foton befinder sig i et felt, vil den næppe have hastigheden c₀, men en derfra forskellig hastighed c.

En foton, der bevæger sig i feltfrit vacuum, vil have en total energi E₀ givet ved:

(3)

hvor h er Plancks konstant og fotonens bølgelængde. Bevæger fotonen sig ind i eksempelvis et gravitationsfelt, da vil den have en energi E, der kan skrives:

(4)

hvor c er hastigheden i feltet og dens bølgelængde i feltet.
Idet vi antager, at fotonens energi under bevægelsen er konstant, får vi:

(5)

dvs. at forholdet mellem fotonens hastighed og bølgelængde er konstant, hvorimod de hver for sig kan variere. Da angiver frekvensen, ses denne at være konstant.
Fotonens inertielle masse og dermed gravitationelle masse kan fås fra Einsteins energi-masse-relation:

(6)

Da er konstant, ser vi, at fotonen opretholder en konstant masse, selv om dens hastighed ændrer sig. Dette gælder ikke for »stoflige« partikler, idet deres inertielle masse vokser med hastigheden.
Fotonens impuls p er givet ved:

(7)

Ved benyttelse af (6) og (7) kan vi opskrive fotonens bevægelsesligning således i et -felt, idet vi betragter en radial bevægelse:

(8)

Idet kan (8) omskrives til:

(9)

hvor udtrykket i ligning (1) er indsat.
Ved separation af de variable og r fås:

(10)

Ligning (10) kan integreres til:

(11)

hvor a < r₁ < r₂ er afstandene til to punkter regnet fra centrum af den graviterende masse m, der antages kuglesymmetrisk med en radius a. og er fotonens bølgelængder svarende til r₁ og r₂.
Lader vi r₂ gå mod »uendelig« svarende til et feltfrit område, hvor bølgelængden er , så kan vi skrive:

(12)

hvor er bølgelængden svarende til afstanden r.
Da og c er ligefrem proportionale, gælder følgende ligning for fotonhastigheden c(r) i en afstand r fra den graviterende masse:

(13)

Hvis er væsentligt mindre end 1, hvilket opfyldes af de fleste objekter, da kan vi med en rimelig nøjagtighed rækkeudvikle til første orden. Vi får da følgende udtryk for og c(r) :

(14)

(15)

Ligning (12) viser, at en foton, der bevæger sig i et gravitationsfelt, »udsættes« for en bølgelængdeændring samtidig med, at dens hastighed også ændres. En fotons hastighed som funktion af afstanden r fra den graviterende masse m er givet ved ligning (13).

Gravitationel bølgelængdeforskydning
Lad os beregne den relative bølgelængdeændring svarende til to afstande r₁ og r₂, idet vi benytter udtrykket i (14). Vi får:

(16)

hvor er bølgelængden i afstanden r₁ og er bølgelængden i afstanden r₂.
Hvis en foton udsendes fra eksempelvis solens overflade, hvor r₁ ~= 7 · 10⁸ m, og denne fotons bølgelængde måles ved jordens overflade, hvor r₂ ~= 1,5 · 10¹¹ m, da fås med en solmasse m = 2 · 10³⁰ kg og r₂ >> r₁:

(17)

Denne talværdi stemmer pænt overens med den faktisk målte bølgelængdeændring og svarer ganske til det resultat, man udleder i Einsteins generelle relativitetsteori, dog med den store forskel, at man i den sidstnævnte teori opererer med frekvensen i stedet for som her med bølgelængden. (Se f.eks. C. Møller: The Theory of Relativity, Oxford, 1952, p. 346).

Lyshastigheden i den generelle relativitetsteori
I den generelle relativitetsteori udledes en formel for »lysets« hastighed i et gravitationsfelt (se f.eks. C. Møller, p. 353). Formlen er:

(18)

altså hvor der indgår en kvadratrod i modsætning til en eksponentialfunktion i formel (13).
Hvis (18) rækkeudvikles til 1. orden, bliver den helt identisk med (15). I (18) er der en kritisk afstand r_s givet ved:

(19)

Denne afstand kaldes Schwarzschild-radius og angiver, i hvilken afstand lyshastigheden bliver nul. Hvis r < r_s, bliver c_rel(r) imaginær, og dette giver ikke-fysiske forhold. Begrebet »et sort hul« defineres som et objekt, hvis masse er koncentreret inden for afstanden r < r_s. I formel (13) er der ingen kritiske afstande, hvilket gør den mere fysisk end formel (18).

Lysafbøjning omkring en graviterende masse
Det, der gjorde Einstein berømt, var en »tilsyneladende« bekræftelse af et fænomen, som han havde forudsagt i sin generelle relativitetsteori. Einstein beregnede, at en lysstråle, der passerer tæt forbi solen, vil blive afbøjet 1,75 buesekunder. Halvdelen af denne afbøjning var forårsaget af en ændring af lyshastigheden beregnet efter formel (18). Den anden halvdel var bestemt af rummets »krumning«, der var bestemt af størrelsen af den tilstedeværende gravitationelle masse. Denne »krumning« af rummet beregnes af Einsteins »geometriske« feltligninger.
Ved en solformørkelse i 1919 foretog Arthur Eddington en ekspedition til et sted, hvor formørkelsen ville blive total. Under »totaliteten« af formørkelsen fotograferede man denne og de omkringliggende stjerner, af hvilke der kun var ganske få. Ved en sammenligning med et fotografi af det samme stjerneområde, men uden solen, kunne man konstatere en afbøjning. Analysen var dog meget primitiv og med stor spredning i de målte afbøjninger.
En gravitationel afbøjning følger også af den formel (13), som jeg har udledt, men denne giver for solens vedkommende omkring 0,87 buesekunder. En yderligere afbøjning forårsages af det gravitationelle rotationsfelt (-feltet), der er omkring alle graviterende masser, der er i relativ bevægelse. Da solen roterer, vil dette give anledning til et -felt, som giver en kraftpåvirkning på enhver gravitationel masse, der bevæger sig i feltet.   -feltet skal beregnes af de gravitationelle feltligninger, som jeg har redegjort for i min artikel: En Maxwell-analog gravitationsteori med to gravitationsfelter.

   Se evt. Hans Christophersens kronik
  Næste artikel