Indledning

Jeg vil i denne artikel vise, at det gravitationelle rotationsfelt, som jeg indførte i en tidligere artikel (Louis Nielsen, nr. 9 (1972)), er en konsekvens af den specielle relativitetsteori.
De beregninger, som her gennemføres, benyttes, når man vil vise, at det magnetiske induktionsfelt er en relativistisk korrektion til elektrostatikken. Man kan nemlig vise, at Maxwells ligninger er en konsekvens af:

1. Coulombs elektrostatiske kraftlov
2. den specielle relativitetsteori
3. elektrisk ladnings invarians

Udledning af de gravitationelle feltligninger

Jeg vil nu udlede de feltligninger, som det gravitostatiske felt og det gravitationelle rotationsfelt skal opfylde. Jeg benytter følgende udgangspunkter og antagelser:

a) Newtons gravitostatiske kraftlov
b) Den specielle relativitetsteoris transformationsligninger for steder, tider, hastigheder og kræfter
c) Antagelsen, at den gravitationelle masse er Lorentzinvariant

(1)

hvor m₁ og m₂ er de gravitationelle masser af to partikler, r afstanden mellem dem, og en negativ parameter, som hænger sammen med Newtons gravitationskonstant G efter formlen:

(2)

Vi vil overalt benytte SI-enhedssystemet. Da vi ikke sætter noget minustegn i (1), må nødvendigvis være negativ for de gravitationelle masser, som vi kender til i vor del af universet, da vi jo altid erfarer, at gravitationelle masser med samme fortegn tiltrækker hinanden.
Vi ser, at ligning (1) er matematisk identisk med Coulombs kraftlov for hvilende elektriske ladninger:

(3)

hvor nu q₁ og q₂ er de elektriske ladninger og vacuums dielektricitetskonstant. Fysikken bag ligningerne (1) og (3) er ikke identisk. Dette svarer f.eks. til, at fysikken bag vandbølger og elektromagnetiske bølger ikke er identisk, men den matematiske beskrivelse er identisk. Et andet eksempel, blandt talrige, afspejles i fænomenerne spin og isospin, hvor den matematiske struktur igen er identisk, hvorimod fysikken er forskellig. Denne matematiske isomorfi (samme form) er en erkendelse, man bør holde sig for øje.

Ad b):
Vi vil antage, at vi kan benytte transformationsformlerne fra den specielle relativitetsteori. Vi vil benytte Lorentz-transformationen:

(4)

(5)

og transformationsformlerne for kraftkomponenterne:

(6)

(7)

(8)

De umærkede størrelser er bestemt i forhold til inertialsystemet I, de mærkede i forhold til inertialsystemet I', der bevæger sig med hastigheden v ud ad x-aksen i I. u' er en partikels hastighed i I'. Størrelsen c₀ er en naturkonstant, der svarer til en fotons hastighed i feltfrit vacuum. Ved begrebet feltfrit vacuum vil jeg forstå et område af rummet, der er absolut frit for både felter og stof.
Ud over ligningerne (4) til (8) vil vi benytte transformationsformlerne for hastigheder.

Ad c):
Antagelsen, at den gravitationelle masse er Lorentz-invariant, kan kun tages som en approximation, idet det strider imod ækvivalensprincippet. Ækvivalensprincippet kan formuleres som princippet om identiteten mellem den inertielle og den gravitationelle masse.
Da den inertielle masse vokser med hastigheden, må, ifølge ækvivalensprincippet, også den gravitationelle masse vokse på samme måde. Dette forekommer intuitivt meget mærkværdigt.
Vi betragter nu to inertialsystemer I og I':

(9)

(10)

(11)

(12)

Heraf får vi for afstanden |O'P'|:

(13)

hvor s er defineret ved: s = (x² + (1-ß²) · (y² + z²))^1/2
Den numeriske værdi af kraften F' på massen m₁ i punktet P' vil til tiden t' = - v/c₀²·x·(1-ß²)^-1/2, altså til tiden t=0 i I, være givet ved:

(14)

eller i komponenter langs x'-, y'-, z'-akserne:

(15)

(16)

(17)

Ved indsættelse af (15) i transformationsligningen (6) får man:

(18)

Dette kan omskrives til:

(19)

eller:

(20)

hvor g er defineret ved:

(21)

For de andre komponenter får man ved hjælp af transformationsligningerne:

(22)

(23)

Ligningerne (20), (22) og (23) angiver kraftkomponenterne målt i forhold til inertialsystemet I. Vi ser, at kraften mellem partiklerne afhænger af disses hastigheder i forhold til systemet I.
Ligningerne (20), (22) og (23) sætter os nu i stand til at definere et nyt gravitationsfelt på en sådan måde, at disse kan sammenfattes i en gravitationel kraftlov af formen:

(24)

eller udskrevet i komponenter:

(25)

(26)

(27)

Idet vi omskriver ligning (20) til formen:

(28)

og sammenligner med (25), konkluderer vi, at -feltet er defineret ved:

(29)

Tilsvarende får vi ved sammenligning mellem ligningen:

(30)

med (26), at:

(31)

Endelig giver sammenligning mellem:

(32)

og (27), at:

(33)

Vi har således vist, at i inertialsystemet I er -feltet bestemt ved:

(34)

hvor er stedvektoren til punktet P. Vi ser, at -feltet afhænger af farten v, hvormed massen m₂ bevæger sig i forhold til systemet I.
Samler vi komponenterne for -feltet:

(35)

ser vi, at det har natur af et rotationsfelt. Ligningerne i (35) er ensbetydende med følgende vektorligning:

(36)

Vi kan nu opstille en rotationsligning for -feltet ved at operere med rotationsoperatoren på begge sider af lighedstegnet i ligning (36).
Vi får:

(37)

Det sidste led i (37) kan vi omskrive som følger:
Da følger heraf, at den totale afledede af er givet ved:

(38)

den totale afledede angiver 's ændring pr. tidsenhed, når man følger med feltet, som da er konstant. Den totale afledede er således nul, og vi har:

(39)

som indsat i (37) giver:

(40)

Ved indførelse af »vacuums gravitationelle permeabilitet« og massestrømtæthedsvektoren har vi sluttelig ligningen:

(41)

I ligning (37) har vi benyttet, at:

(42)

hvilket er en ækvivalent, men dog mere generel ligning end Newtons gravitostatiske kraftlov (1). Ligning (42) kan vi anskueliggøre således: Lad massen m₂ befinde sig i centrum af en kugleflade med radius r. På overfladen er -feltet radiært og givet ved:

(43)

Integration over fladen og benyttelse af Gauß's integralteorem giver:

(44)

Ved grænseovergangen til et lille volumen omkring m₂ får man (42), idet:

(45)

Vi mangler nu ligningerne for og .
Som en antagelse, men absolut ikke som givet, vil vi betragte -feltet som kildefrit, dvs. som et rent hvirvelfelt. Vi antager således, at divergensen af -feltet er forsvindende, udtrykt:

(46)

Det kan naturligvis godt tænkes, at der eksisterer N-felt-monopoler, og (46) må da modificeres til:

(47)

hvor er en konstant, og er tætheden af -felt-monopoler.
Vi skal nu bestemme en ligning for . Vi kunne nu gå tilbage til de oprindelige transformationsligninger og så bestemme udtrykt ved og . Dette vil vi dog ikke gøre, men blot angive resultatet:

(48)

Et argument for ligning (48) kunne måske formuleres ved hjælp af kraftloven (24).
Lad der være givet et -felt, og lad os betragte et bestemt punkt i dette. Lad en partikel ankomme til punktet og heri have hastigheden . Vi ønsker, at partiklen skal forlade punktet med uforandret hastighed . Dette kræver, at -feltet i punktet skal ændre sig på en sådan måde i tiden, at kraften på partiklen er nul. Hvis vi antager, at en ændring af -feltet i tiden inducerer et -felt, ser vi af (24), at: , hvilket giver (48). Ved operation med rotationsoperatoren får vi af (48):

(49)

da og .
Jeg har hermed vist, at den specielle relativitetsteori kræver eksistensen af to gravitationelle vektorfelter, karakteriseret ved -feltet og -feltet.
Jeg har således demonstreret, at der må gælde følgende gravitationelle feltligninger (hvis vi ser bort fra N-felt-monopoler):

(50)

(51)

(52)

(53)

samt kraftloven, som definerer - og -felterne:

(54)

Disse ligninger er i deres primærstruktur matematisk identiske med Maxwells elektrodynamiske feltligninger for det elektriske -felt og det magnetiske induktionsfelt , idet disse felter adlyder ligningerne:

(55)

(56)

(57)

(58)

samt kraftloven, som definerer - og -felterne:

(59)

Her er vacuums dielektricitetskonstant og vacuums magnetiske permeabilitet. er den gravitationelle massetæthed og den elektriske ladningstæthed.

Ulineære feltligninger. Indførelse af negative gravitationelle masser

Trods den primære matematiske lighed mellem de to teorier, som er udtrykt ved de to ligningssæt (50) til (54) og (55) til (59), så er den fysiske forskel dog stor. Det forholder sig nemlig således, at den Maxwellske elektrodynamiske teori er lineær, hvorimod den her opstillede gravitationsteori er ulineær. Denne ulinearitet er en konsekvens af Einsteins masse-energi-relation sammenholdt med ækvivalensprincippet. Einsteins masse-energi-relation udsiger, at en hvilken som helst energi E har en inerti svarende til en inertiel masse m_i givet ved:

(60)

Dette er et resultat af den specielle relativitetsteori og er således kun et udsagn om den inertielle masse. Ækvivalensprincippet, som er grundlaget for Einsteins generelle relativitetsteori, kan formuleres: Hvis en partikel har en inertiel masse m_i, da vil der til denne partikel også være knyttet en gravitationel masse m_g af samme størrelse som m_i, dvs. at der gælder:

(61)

Dette resultat betyder, at der til enhver energi E også er knyttet en ækvivalent gravitationel masse m_g givet ved:

(62)

Da der i gravitationsfeltet er en energitæthed, svarer dette til en ækvivalent massetæthed givet ved (62). Denne massetæthed er kilde for et nyt gravitationsfelt osv.
Denne specielle vekselvirkning mellem felt og masse bevirker, at de gravitationelle feltligninger bliver ulineære. Vi vil undersøge dette forhold lidt nærmere. Først vil vi, for simpelheds skyld, betragte en hvilende gravitationel masse m_g. Denne masse skaber et gravitostatisk felt bestemt ved ligningen:

(63)

Det kan vises, at feltet (i lighed med feltet omkring en hvilende elektrisk ladning) indeholder en energitæthed U_g givet ved:

(64)

Da er negativ, ser vi, at energitætheden i feltet er negativ. Ifølge (62) svarer dette til en negativ gravitationel massetæthed.

(65)

Hvis (62) er eksakt og generelt gyldig, må vi heraf konkludere: Der eksisterer negative gravitationelle masser. Dette resultat er yderst interessant, samtidig med at det tilfredsstiller vor symmetriske sans. Om fortolkningen er sand, kan dog diskuteres. Ækvivalensprincippet udtrykt i ligning (61) bevirker, at en negativ gravitationel masse må tillægges en negativ inertiel masse, hvilket forekommer ret så bemærkelsesværdigt. Hvis (61) er generelt gyldig, må negative inertielle masser blive konsekvensen af negative gravitationelle masser.
Massetætheden (65) giver anledning til et -felt, som kobler med det oprindelige, således, at det totale -felt må bestemmes af ligningen:

(66)

Ligning (66) er en ulineær differentialligning, hvilket bevirker, at den er ret så kompliceret at løse. Hvis gravitationsfelterne er relativt svage, kan man linearisere ligningerne. F.eks. vil sidste led i (66) være forsvindende i forhold til , hvis vi f.eks. betragter jordkloden.   vil være af størrelsesordenen 10^-5 og af størrelsesorden 10^-14.
Det kunne nu være interessant at beregne, hvor meget negativ masse det gravitostatiske -felt omkring jordkloden er ækvivalent med. Energitætheden U_g (J/m³) er i afstanden r fra centrum af jorden givet ved:

(67)

idet

(68)

Ved integration fra jordoverfladen til uendelig fås for den totale energi E_g i feltet:

(69)

Her er R partikelradius (jordens radius) og M partikelmasse (jordens masse). Da det stadig bemærkes, at er negativ, er den totale energi i feltet negativ. Udtrykt ved Newtons gravitationskonstant G kan vi skrive:

(70)

Dette udtryk svarer formelt til den potentielle energi af en partikel med massen M, der befinder sig i afstanden 2R fra en anden partikel også med massen M. Energien (70) er ækvivalent med en negativ gravitationel masse

(71)

Ved benyttelse af værdierne M = 10²⁴ kg; R = 6·10⁶ m; G = 6.6·10^-11 Nm²/kg² fås en negativ masse af størrelsesordenen m_g = -10¹⁴ kg.

Positive og negative massers vekselvirkning

I dette afsnit vil vi undersøge, hvordan negative og positive masser vekselvirker med hinanden. I første omgang vil vi antage, at ækvivalensprincippet er gyldigt. Dette medfører, som tidligere bemærket, at en negativ gravitationel masse må tillægges en negativ inertiel masse. Lad os betragte en positiv gravitationel masse m_g, der befinder sig i feltet fra en fast positiv gravitationel masse M_g.

Bevægelsesligningen for m_g er givet ved

(72)

hvilket giver en acceleration , som er rettet imod M.
Nu betragter vi en negativ gravitationel masse -m_g; denne vil have bevægelsesligningen

(73)

hvilket også giver en acceleration, der er rettet mod M.
Lad os nu betragte en negativ gravitationel masse -M_g, der er fast (ved hjælp af understøtningskræfter f.eks.). Lad i feltet af denne først en positiv, dernæst en negativ masse bevæge sig. Den positive masse har bevægelsesligningen

(74)

altså en acceleration bort fra massen M. Den negative masse har bevægelsesligningen

(75)

hvilket også bevirker en acceleration bort fra M.
Resultaterne (72) til (75) er baseret på, at ækvivalensprincippet er generelt, således at vi må operere med negativ inertiel masse. Hvis vi lader ækvivalensprincippet indskrænkes til kun at gælde for positive gravitationelle masser, og således tillægger en negativ gravitationel masse en positiv inertiel masse, får vi følgende gravitationelle vekselvirkning: Gravitationelle masser med samme fortegn tiltrækker hinanden, hvorimod masser med modsat fortegn frastøder hinanden.
I forrige afsnit betragtede vi en hvilende graviterende masse. Hvis en gravitationel masse bevæger sig i forhold til en iagttager, vil der foruden et -felt også være et -felt. Den energitæthed U_g, der er i feltet, er da givet ved

(76)

Da K₀ også er negativ, vil energitætheden givet ved (76) også være ækvivalent med en negativ masse.

  Næste artikel