I det følgende vil jeg foretage en generel rationel kvantisering af nogle af de fysiske størrelser og formeludtryk, der indgår i den klassiske mekanik. Den generelle kvantisering er en direkte konsekvens af rummets, tidens og massens basiskvantisering. Eksistensen af denne basiskvantisering - og de kosmologiske konsekvenser heraf - har jeg redegjort for i min holistiske kvantekosmologi. Grundlaget for det følgende - og min holistiske kvantekosmologi - er eksistensen af følgende kvantekosmologiske fundamentalstørrelser:

1. Den fysisk mindste kosmologiske kvantelængde r₀, også kaldet elementarlængden
2. Det fysisk mindste kosmologiske kvantetidsinterval t₀, også kaldet elementartiden
   og
   
3. Universets totale energi-/stof masse M₀

De kosmologiske kvantestørrelser definerer et absolut og kosmologisk enhedssystem, der er uafhængigt af specifikke lokalsystemer og levende systemers eksistens. (Se afsnit 5 i min afhandling).
Af det følgende vil det fremgå, at:

1. Alle fysiske hastigheder kan angives som en rationel brøkdel af lysets fart c₀.
2. Alle accelerationer kan angives som en rationel brøkdel af en universel fysisk maximal acceleration.
3. Alle systemers impuls kan angives som en rationel brøkdel af en universel maximal ’impuls’, eller som et helt multiplum af en fysisk mindste impulsstørrelse. Den fysisk mindste impulsstørrelse i universet er lig med m_u·c₀, hvor m_u er massen af det fysisk mindste stof-/energikvant i det aktuelle univers og c₀ lysets fart. Det fysisk mindste stof-/energikvant i universet har jeg givet navnet en uniton.
4. Alle systemers energiindhold kan angives som en rationel brøkdel af universets totale energi, eller som et helt multiplum af en fysisk mindste energiportion. Den mindste aktuelle energimængde i universet er identisk med den kinetiske energi af en uniton. Jeg viser, at den kinetiske energi af en uniton er givet ved m_u·c₀².

Som en konsekvens af de fysiske størrelsers kvantisering vil alle lovmæssigheder og formelsammenhænge i vor naturbeskrivelse være kvantiserede, dvs. at der i formlerne indgår karakteristiske rationelle kvantetal. Naturlovene vil som følge heraf kunne formuleres som kvantetalsbetingelser.

Betegnelsen holistisk refererer til det faktum, at der i de fysiske udtryk indgår størrelser fra såvel mikrokosmos – eksempelvis Plancks konstant og en unitons masse – og størrelser fra makrokosmos – eksempelvis universets totale masse.

Som følge af de grundlæggende fysiske størrelsers basiskvantisering bør alle naturfænomener – fundamentalt betragtet - beskrives ved en diskret matematik og ikke, som det har været praktiseret siden Newton, ved en kontinuert matematik. Da elementarlængden og den dertil hørende elementartid er uhyre små størrelser - når de angives ved vore praktiske måleenheder – kan dagligdags og makroskopiske fænomener stadig med fordel og stor nøjagtighed beskrives ved hjælp af en kontinuert matematik. Hvis man derimod ønsker en korrekt beskrivelse og forståelse af mikrofysiske fænomener og de allertidligste stadier af universets udvikling, da må en diskontinuert matematik benyttes. I et tidligere kapitel har jeg overvejet nogle konsekvenser, af det jeg kalder en fysisk kvantegeometri. Med eksistensen af en mindste fysisk ’afstandsmålestok’ kan vi ikke i en forfinet beskrivelse af naturen benytte den euklidisk kontinuerte geometri. I en fysisk kvantegeometri, må vi kvantisere de geometriske afstandsdimensioner af eksempelvis en ’cirkel’ således, at forholdet mellem kvantecirklens ’kvanteomkreds’ og ’kvantediameter’ definerer et rationelt pi,   Ligeledes vil den pythagoræiske læresætning ikke være gyldig i en fysisk kvantegeometri.

Jeg viser, at det maximale arbejde, der blev udført i universet, da dette blev født i løbet af det første kosmiske kvantetidsinterval, er givet ved universets totale masse multipliceret med lysets fart i anden potens. Størrelsen af dette maximale arbejde er lig med den totale energi, der opstod i universet, da dette foretog sit første kosmiske kvantespring over elementarlængden! Ved anvendelse af min kvantekosmologiske ligning, der forbinder universets totale masse med en unitons masse, kan jeg på en simpel måde udlede den berømte formel E = m·c₀² , hvor m er et systems masse og c₀ er lysets fart.

I det følgende vil jeg betragte nogle specielle systemers kvanteforhold, bl.a. kvantebevægelsen af en partikel, der bevæger sig i et homogent tyngdefelt. Jeg viser, at energien af en partikel eller et givet system enten kan angives som en rationel brøkdel af universets totale energi, eller som et helt multiplum af en unitons kinetiske energi.

Rummets, tidens og massens kvantisering. Kvantekinematik og kvantedynamik

Den fysisk mindste afstand i universet - elementarlængden r₀ og det fysisk mindste tidsinterval - elementartiden t₀ er givet ved:

(1)

hvor h er Plancks konstant, M₀ universets totale energi-/stof-masse og c₀ lyskonstanten.

Enhver endelig fysisk afstand er givet ved:

(2)

hvor er et naturligt tal - rumkvantetallet.

Ethvert endeligt fysisk tidsinterval er givet ved:

(3)

hvor er et naturligt tal – tidskvantetallet.

Som en naturlig konsekvens af (2) og (3) vil også de fysiske størrelser hastighed og acceleration være kvantiserede størrelser.

For en partikel, der bevæger sig i et givet referencesystem, definerer vi den kvantiserede hastighed v – langs med en bestemt retning - som en tilbagelagt strækning divideret med det tilhørende tidsinterval. Ved benyttelse af de basiskvantiserede størrelser i (2) og (3) fås da for v:

(4)

hvor er et rationelt hastighedskvantetal, der kan antage rationelle talværdier mellem 0 og 1.
For en partikel, hvis hastighed ændrer sig i tiden gælder, at hastighedskvantetallet er en funktion af tidskvantetallet.
For en partikel, der ændrer hastighed, defineres størrelsen af den kvantiserede acceleration a – i en given retning - ved følgende:

(5)

hvor er et rationelt accelerationskvantetal, der kan antage rationelle talværdier mellem 0 og 1.   a_max er lig med forholdet mellem lyshastigheden og elementartiden og er som sådan en maximal øvre fysisk acceleration i universet. Den maximale acceleration forekom, da universet med dets stof og bevægelser blev ’født’ ved det første kosmiske kvantespring over en afstand lig med elementarlængden!

For ethvert system med en masse m antages, at denne er en rationel brøkdel af universets totale masse M₀, dvs.:

(6)

hvor kan kaldes det kosmiske massekvantetal.

I et givet referencesystem vil vi definere en partikels kvantiserede impuls p – i en bestemt retning - ved følgende:

(7)

hvor er det rationelle impulskvantetal, der kan antage rationelle talværdier mellem 0 og 1.
Størrelsen M₀·c₀ angiver en maximal ’universimpuls’.

Kvantekraft og kvantearbejde

Hvis en partikel i et givet referencesystem accelererer, dvs. ændrer hastighed, da siger vi, at partiklen er påvirket af en eller flere kræfter. Størrelsen F_res af den samlede kraftpåvirkning på partiklen, også kaldet den resulterende kraft, defineres som ændringen i partiklens impuls divideret med det hertil hørende tidsinterval, dvs. således:

(8)

I ligning (8) er et rationelt kraftkvantetal, der kan antage rationelle talværdier mellem 0 og 1.
Størrelsen M₀·a_max er den største fysiske kraft, der kan udvirkes i universet, og denne maximalkraft forekom, da universet blev ’født’ og foretog sit første kosmiske kvantespring. Se senere.

En konstant krafts arbejde A_F over en strækning defineres - hvis kraftretning og forskydningsretning er parallelle – som:

(9)

definerer et rationelt arbejdskvantetal, eller energikvantetal, der kan antage rationelle talværdier mellem 0 og 1.

Størrelsen M₀·c₀² angiver – som jeg vil vise i det følgende - den totale energi i universet! Ethvert subsystems energiindhold er således lig med en rationel brøkdel af universets totale energi!

Et udført arbejde på et system er ensbetydende med en energiudveksling mellem de kraftudvekslende systemer. Størrelsen af det arbejde A_res, den resulterende kraft udfører på en partikel, er lig med partiklens tilvækst i kinetisk energi    Af (9) får vi for den resulterende krafts arbejde:

(10)

Universets embryonale arbejde og dets totale energiindhold

Da universet blev ’født’ og foretog sit første kosmiske kvantespring over en afstand lig med elementarlængden, ’opstod’ den totale energi, som eksisterer i universet. Denne totale energi er siden blevet fordelt som kinetisk energi hos alle de mindste stof-/energikvanter – unitoner – som alt i universet består af. Vi kan beregne denne totale kosmiske energi E_kin,cos ved at udregne det fysisk maximale arbejde A_max, der blev udvirket over elementarlængden r₀:

(11)

Vi ser, at universets totale energi er bestemt ved produktet af dets totale masse og lysets fart i anden potens, altså et beregningsudtryk, der svarer til det, Albert Einstein fandt frem til i sin specielle relativitetsteori fra 1905. Her er jeg dog kommet til udtrykket på en kvantefysisk og dermed fundamentalt anden måde!

Udledning af formlen E = m·c₀² og en uniton-mekanisk forklaring

I min holistiske kvantekosmologi (se denne) viser jeg eksistensen af følgende sammenhæng:

(12)

hvor N³ er det kosmiske evolutionskvantetal, der styrer universets udvikling og er en diskret parameter, der ’tikker’ op gennem de naturlige tal. N er lig med det aktuelle brøkforhold mellem de elektrostatiske og gravitostatiske kræfter mellem to elektroner.   m_u er massen af en uniton.   Af (12) ser vi, at der i enhver tilstand af universet eksisterer N³ unitoner. I vor epoke er N³ = 7,2·10¹²⁷ svarende til et uhyre stort antal unitoner. Enhver afgrænset stofmængde består af et bestemt antal unitoner. Ved indsættelse af udtrykket i (12) i ligning (11) får vi:

(13)

Af lignig (13) ser vi at den kinetiske energi af en uniton E_kin,u er bestemt ved produktet af unitonens masse og lysets fart i anden potens! Denne unitonkinetiske energi er den fysisk mindste energimængde – elementarenergien - i det aktuelle univers.
Da massen m af en afgrænset stofmængde er bestemt ved summen af masserne af de unitoner, som stofmængden består af, gælder:

(14)

Det totale energiindhold E_stof af en bestemt stofmængde er således givet ved produktet af stofmængdens masse og lysets fart i anden potens!
De foregående betragtninger giver følgende nye erkendelse og forklaring af den berømte ligning E = m·c₀² :
Det totale energiindhold i en given stofmængde er et mål for den totale kinetiske energi af de unitoner, som stofmængden består af!! Med denne erkendelse om vor fysiske verden er det ikke vanskeligt at forstå, at alt stof uanset dets kemiske fremtrædelsesform indeholder en total energi givet ved ligning (14)!

Universets mindsteværdier af impuls, impulsmoment og energi

Ved at anvende sammenhængen i ligning (12) kan vi udtrykke forskellige systemers energiindhold som et helt multiplum af én unitons kinetiske energi. Ved en partikel vil vi forstå et afgrænset unitondynamisk system, der består af et bestemt antal unitoner. Partiklens unitondefinerede masse m er givet ved:

(15)

hvor n_m er et naturligt tal - massekvantetallet.
Hvis et systems masse angives i de kosmologiske enheder (se kap.5), da er denne lig med talværdien af massekvantetallet!
Størrelsen i (7) kan skrives:

(16)

hvor n_p er et naturligt tal – det naturlige impulskvantetal.
Størrelsen p_u bestemt ved:

(17)

angiver den mindste fysiske impuls – elementarimpulsen - i universet. Hvis denne elementarimpuls multipliceres med universets udstrækning R, fås den fysiske størrelse, som kaldes et impulsmoment. Produktet af p_u og R giver Plancks konstant h, dvs. der gælder:

(18)

Det ses, at Plancks konstant ikke er så fundamental, som man formoder i den kendte fysik, idet elementarimpulsen og universets udstrækning må opfattes som mere fundamentale! Udtrykket i (18) er i øvrigt et grænsetilfælde af Heisenbergs usikkerhedsrelation for impuls og sted, idet den angiver sammenhængen mellem minimumusikkerhed på impuls og maximumusikkerhed på sted. Ved at indføre elementarlængden r₀ i (18) kan vi finde talværdien af det fysisk mindste impulsmoment i universet – elementarimpulsmomentet l_u:

(19)

Vi ser, at talværdien af elementarimpulsmomentet er uhyre lille angivet i de af os definerede SI-enheder. Hvis vi derimod angiver elementarimpulsmomentet i de kosmologiske enheder, da er talværdien lig med 1 med enheden (masson·spaton²)/tempon.
Elementarimpulsmomentet må fortolkes som værende lig med én unitons egenimpulsmoment, dvs. det som også kan betegnes som unitonens spin. Universets numerisk totale impulsmoment kan beregnes ved at multiplicere elementarimpulsen, først med antallet N³ af unitoner i universet, og dernæst med N³ igen, idet sidstnævnte multiplikation tager hensyn til universets udstrækning. Hvis der tages hensyn til impulsmomenternes retning, da summeres hele universets totale impulsmoment sammen til 0.
Talværdien af elementarimpulsen p_u er også lig med 1 angivet i kosmologiske enheder!
Størrelsen af en resulterende kraft F_res kan skrives som:

(20)

hvor og angiver de samhørende tilvækster i henholdsvis impulskvantetal og tidskvantetal.

Ligningerne (10) og (11) kan omformes til:

(21)

(22)

hvor n_A og n_A,res kan opfattes som naturlige arbejdskvantetal.   E_kin,u er én unitons kinetiske energi, og denne er den fysisk mindste energistørrelse i universet – elementarenergien. I kosmologiske enheder er talværdien af elementarenergien lig med 1.
Analogt til udtrykket i (18) kan vi også udtrykke Plancks konstant h ved universets alder T således:

(23)

altså som produktet mellem elementarenergien og universets alder. Ligning (23) er ligesom udtrykket i (18) et grænsetilfælde af Heisenbergs usikkerhedsrelation for tid og energi.

Lad os analysere energiforholdene af en partikel, der bevæger sig i et homogent tyngdefelt, idet vi gør brug af de kvantiserede energiudtryk.

Den kinetiske energi E_kin af en partikel kan skrives:

(24)

hvor m er partiklens masse, der er lig med et naturligt tal gange en unitons masse.   v er den rationelt kvantiserede hastighed, og n_Ek er et naturligt tal – det kinetiske energikvantetal.   Af (24) ser vi, at partiklens kinetiske energi er givet ved et helt multiplum af elementarenergien.
For en partikel, der befinder sig i et homogent tyngdefelt, kan den tyngdepotentielle energi E_pot beregnes som:

(25)

hvor g er stedets tyngdeacceleration, der er lig med et rationelt accelerationskvantetal multipliceret med den universelle maximalacceleration – forholdet mellem lysfarten og elementartiden.   H er den lodrette højde målt fra et valgt nulniveau og bestemt ved et rumkvantetal ganget med elementarlængden.   n_Ep er energikvantetallet hørende til den potentielle energi – det potentielle energikvantetal. Vi ser af (25), at også den tyngdepotentielle energi kan beregnes som et helt multiplum af elementarenergien.

En partikel, der bevæger sig i det homogene tyngdefelt, har inden for ethvert kvantetidsinterval en total såkaldt mekanisk energi E_mek givet ved:

(26)

hvor n_mek er det mekaniske energikvantetal.
Vi kan nu udtrykke bevarelsen af partiklens mekaniske energi som en energikvantetalsbetingelse. Under partiklens bevægelse skal der gælde, at tilvæksten i partiklens mekaniske energi er lig med nul, dvs.:

(27)

Under partiklens bevægelse gælder der således:

(28)

Udtrykt i ord betyder ligning (28): Lige så meget som det kinetiske energikvantetal stiger, lige så meget falder det potentielle energikvantetal! Hvis eksempelvis det potentielle energikvantetal falder med 10, da vil det kinetiske energikvantetal stige med 10. I praksis vil talændringerne være uhyre store. Men fundamentalt betragtet må det formodes, at naturen fungerer sådan, som jeg har beskrevet!

© Louis Nielsen, 5. juli 1998

  Næste artikel