Den harmoniske kvanteoscillator.
Kvanteenergierne udledt kvantekosmologisk og som konsekvens af rummets, tidens og massens kvantisering

Af Louis Nielsen, Herlufsholm

Indledning. Sortlegemestråling og kvantisering

Da Max Planck (1858-1947) omkring år 1900 skulle give en forklaring af energifordelingskurven for et energiudstrålende ’absolut sort legeme’, opstillede han en model for de energiudstrålende atomer. Max Planck gjorde følgende ad hoc-antagelser:

  • De energiudstrålende atomer opfører sig som harmoniske oscillatorer, der hver har en svingningsfrekvens f.
  • Hver oscillator kan kun absorbere og emittere energi i portioner – kvanter – der er ligefrem proportionale med f, dvs. der skal gælde at: E = h · f , hvor E er størrelsen af den absorberede eller emitterede energiportion, og h er en proportionalitetskonstant, den såkaldte Plancks konstant.

Med den sidstnævnte antagelse indførte Max Planck kvantebeskrivelsen af naturfænomenerne. Ifølge den klassiske og matematisk kontinuerte elektromagnetismeteori – som den er udtrykt i de Maxwellske ligninger –, kan et system absorbere og emittere energi i vilkårligt kontinuerte portioner. For den klassisk-mekaniske harmoniske oscillator (dvs. en partikel, der er påvirket af en elastisk kraft) gælder, at den mekaniske energi (dvs. summen af den kinetiske – og elastisk potentielle energi) er proportional med kvadratet på svingningsamplituden. I den kontinuerte klassiske fysik antages denne også at kunne antage alle kontinuerte positive talværdier, i øvrigt uden en øvre maximal værdi.
Med Max Plancks kvanteantagelse kan en harmonisk oscillator kun have de diskrete energi-talværdier En givet ved:

(1)

hvor n er et energikvantetal, der kun kan antage talværdierne 1, 2, 3, osv.

I den traditionelle bølge-kvantemekanik giver en relativt indviklet matematisk løsning af Schrödingers kontinuerte bølgeligning – anvendt på den harmoniske oscillator – de i (1) angivne energiværdier.
I det følgende vil jeg vise, at man kan udlede energiværdierne givet i (1) meget simpelt og direkte ud fra det klassiske mekaniske energiudtryk, blot ved at benytte de af mig opdagede kvantestørrelser: Rumkvantet, tidskvantet og massekvantet!

 

Rationel kvantisering af den harmoniske oscillators mekaniske energi

Det fundamentale grundlag for min ’Holistiske kvantekosmologi’ (se denne) er kvantiseringen af de fysisk fundamentale størrelser: Afstand, tidsinterval og masse.
Den fysisk mindste afstand – elementarlængden – r0 og det fysisk mindste tidsinterval – elementartiden – t0 er sammenknyttet med Plancks konstant h, universets totale energi-/stof-masse M0 og lysets hastighed c0 i såkaldt vakuum ved følgende:

(2)

For alle fænomener i vort kvantiserede univers gælder følgende:
Enhver fysisk afstand er bestemt ved:

(3)

hvor er rumkvantetallet, der kan antage de naturlige talværdier 1, 2, 3, osv.
Ethvert fysisk tidsinterval er bestemt ved:

(4)

hvor er tidskvantetallet, der kan antage de naturlige talværdier 1, 2, 3, osv.
Enhver fysisk masse m er en rationel brøkdel af universets totale masse M0, dvs.:

(5)

hvor er et rationelt massekvantetal.

Transformationen fra et klassisk og kontinuert fysikformeludtryk til et kvantefysisk udtryk er blot at indsætte de kvantiserede størrelser givet i (3), (4) og (5).

Lad os kvantetransformere formeludtrykket, der angiver den klassisk-mekaniske energi af en harmonisk oscillator. Den mekaniske energi Emek af en harmonisk svingende partikel med massen m og svingningsamplituden A udledes i den klassiske mekanik og er givet ved:

(6)

hvor er vinkelhastigheden, der er sammenknyttet med partiklens svingningstid T sådan:

(7)

hvor jeg med et indeks q på har angivet, at man i en fysisk kvantegeometri skal anvende et rationelt pi-tal!
Indsættes de kvantiserede størrelser for m, T og A, fås:

(8)

idet c0 = r0/t0 er lysets hastighed.
I (8) er et rationelt energikvantetal. Vi ser meget interessant, at energiindholdet af en specifik harmonisk oscillator – der er et lokalt subsystem i universet – er lig med en rationel brøkdel af universets totale energiindhold, der er bestemt ved M0·c0².

Ved benyttelse af (2) kan (8) omskrives til:

(9)

hvor jeg har angivet det rationelle tal som en rationel brøk bestående af et naturligt tal n – energi-kvantetallet – i tælleren og et naturligt tal nT – et tidskvantetal i nævneren.   nT·t0 er lig med partiklens kvantiserede svingningtid!  Reciprokværdien af svingningstiden definerer partiklens kvantiserede svingningsfrekvens f. Som det ses, er det kvantetransformerede energiudtryk i (9) matematisk identisk med (1).

Kvantiseret frekvens med øvre og nedre fysiske grænser. Unitonen

Som nævnt er udtrykket i (9) matematisk identisk med (1), dog med den store fysiske forskel, at frekvensen i (9) er kvantiseret, hvilket er en konsekvens af tidens kvantisering. I den traditionelle bølgekvantefysik er tidsstørrelsen ikke, og dermed heller ikke en tidsafledt størrelse såsom frekvens, kvantiseret. Ej heller opererer man med fysiske mindste- og størsteværdier af frekvens. Da det fysisk mindste tidsinterval er elementartiden t0, må der til dette høre en fysisk største frekvens fmax givet ved:

(10)

Da det største tidsinterval er universets aktuelle alder Tunivers, må den fysisk mindste frekvens fmin være givet ved:

(11)

Til den fysisk største frekvens svarer en maximal energi og en hertil ækvivalent maximal masse givet ved:

(12)

hvor M0 er universets totale masse, og Emax er lig med den totale energi af hele universet.
Den aktuelt fysisk mindste energimængde Emin i universet og en hertil svarende fysisk mindste ækvivalent masse mu er givet ved:

(13)


Universets mindste fysiske energi-/masse-kvanter er identiske med de ’partikler’ jeg har givet navnet unitoner. Nogle konsekvenser af unitonernes eksistens – de sande atomer i universet – kan man studere andetsteds.

Forening af det mindste med det største

Et interessant spørgsmål er: Eksisterer der en sammenhæng mellem de mindste og de største fysiske størrelser i universet? Mit svar er: ja! Begrundelsen for mit svar kan studeres i min 'Holistiske kvantekosmologi', hvor jeg redegør for min opdagelse af følgende sammenhænge:

(14)

(15)

(16)

I disse formler spiller N³ rollen som et kosmisk evolutionskvantetal, der 'tikker' op gennem de naturlige tal. N angiver det aktuelle brøkforhold mellem de elektrostatiske og gravitostatiske kræfter mellem to elektroner. Da universet blev 'født', var det kosmiske evolutionskvantetal lig med én.
Til formelsammenhængene (14), (15) og (16) kan føjes:

(17)

(18)

Vi ser, at det kosmiske evolutionskvantetal er den fysiske størrelse, der forener de mindste og de største fysikstørrelser i universet.

 

 

© Louis Nielsen, 13. december 1998

 


  Næste artikel

Hovedsiden