Atomets kvanteenergi bestemt ved rumkvantet, tidskvantet og universets masse

Af lektor cand.scient. Louis Nielsen

Indledning
I det følgende vil jeg vise, at der eksisterer en sammenhæng mellem energitilstandene i et hydrogenatom og universets totale energiindhold. Det vises, at den mekaniske energi af en elektron i en bestemt tilstand er lig med en bestemt brøkdel af universets totale energi. Det vises, at de diskontinuerte egenskaber er en konsekvens af rummets, tidens og massens kvantisering.

I 1913 viste Niels Bohr (Niels Bohr (1885-1962): 'On the Constitution of Atoms and Molecules', Philosophical Magazine, 26, 1 (1913)), hvordan man kunne få kvantiseret energien i et H-atom, og således give en kvantitativ »forklaring« af de eksperimentelle data, der vedrører H-atomets linjespektrum. For at få kvantiseret energimulighederne i H-atomet antog Bohr ad hoc, at elektronens impulsmoment, dvs. produktet af dens masse, hastighed og afstand fra protonen var lig med et naturligt tal multipliceret med Plancks konstant divideret med 2 . Ved hjælp af denne ad hoc-antagelse kunne Bohr udlede en energiformel, der var kvantiseret, dvs. elektronen kan kun have ganske bestemte og adskilte energitalværdier. Nu er det imidlertid sådan, at den fysiske størrelse, som vi kalder impulsmoment, er afledt af de fundamentale fysiske størrelser: afstand, tidsinterval og masse, hvilket også er tilfældet for alle andre fysiske størrelser! Som følge af dette er det rimeligt at formode, at kvantiseringen allerede er til stede på dette fundamentale niveau!
Jeg vil vise, at kvantiseringen på et »højrere« niveau er en konsekvnes af rummets, tidens og massens kvantisering.
Rumkvantet – elenemtarlængden r0 er givet ved:

(1)

hvor h er Plancks konstant, c0 lysets hastighed og M0 universets totale stof-/energimasse.
Tidskvantet – elementartiden t0 er givet ved:

(2)

Massen af en »elementarpartikel« antages at være en brøkdel af universets totale masse.
I en rationel kvantefysik gælder:   Enhver fysisk endelig afstand er et naturligt tal – rumkvantetallet multipliceret med elementarlængden r0. Dvs. der gælder:

(3)

Ligeledes gælder: Ethvert fysisk tidsinterval er lig med et naturligt tal – tidskvantetallet multipliceret med elementartiden t0. Dvs. der gælder:

(4)

Alle fysiske størrelser, såsom hastighed, acceleration, kraft, arbejde, energi osv. defineres som sædvanligt, men vi må nu tage hensyn til kvantiseringen af rum, tid og masse. Denne fundamentale »atomisering« medfører, at al bevægelse er diskontinuert, – bevægelsen foregår i »spring«. Ligeledes vil alle fysiske processer i et bestemt system være kendetegnet ved diskontinuerte forandringer af visse fysiske størrelser.
Processer i et fysisk system kan beskrives ved ændringen af visse kvantetal hørende til bestemte fysiske størrelser.
Alle fysiske størrelser kan udtrykkes ved de kosmiske fundamentalstørrelser: Rumkvantet, tidskvantet og den totale masse af universet!

Hastighed og acceleration i den diskontinuerte bevægelse
Vi definerer en partikels hastighed v i forhold til et bestemt referencesystem på sædvanlig måde, nemlig sådan:

(5)

hvor er den strækning, der tilbagelægges i tidsintervallet . I definitionsligningen (5) er rumkvantetallet hørende til afstanden og tidskvantetallet hørende til tidsintervallet . Brøkforholdet mellem disse to kvantetal definerer et rationelt hastighedskvantetal, betegnet med . Dette hastighedskvantetal ligger i talintervallet mellem nul og en, idet en partikels hastighed aldrig må overstige c0.

Hvis en partikel ændrer sin hastighed inden for et bestemt tidsinterval, siges partiklen at accelerere. Accelerationens størrelse a defineres ved følgende udtryk:

(6)

I denne definitionsligning vil vi kalde accelerationskvantetallet, der ses at være et rationelt tal, der ligger i talintervallet fra nul til en. Brøkforholdet mellem lyshastigheden og elementartiden c0/t0 giver en teoretisk fysisk øvre grænse for en partikels acceleration. Denne øvre grænse betegnes med amax.
Hvis det – i et bestemt referencesystem – registreres, at en partikel har en acceleration, da siger vi, at den er påvirket af en kraft.

Elektronens kvanteenergi i hydrogenatomet
I det følgende vil jeg vise, at den mekaniske energi, dvs. summen af den kinetiske energi og potentielle energi af en elektron, der befinder sig i en bestemt bevægelsestilstand i et hydrogenatom, dels er en kvantiseret størrelse, og dels at denne kvanteenergi kan udtrykkes som en bestemt brøkdel af universets samlede energi.
Vi vil regne på følgende idealiserede model af hydrogenatomet: Det antages, at elektronen bevægersig en en lukket 'kvantecirkel' omkring en proton, der antages at være i hvile i et valgt referencesystem. Vi vil antage, at H- atomet ikke vekselvirker med andre delsystemer, hvilket naturligvis er en umulighed i det virkelige univers. Vi vil i en første approximation se bort fra magnetiske kræfter forårsaget af elektronens banebevægelse og dens og protonens egenrotation (spin).
Vi vil desforuden antage, at elektronen og protonen er matematisk punkt-'formige' partikler, hvilket nok ikke er i overensstemmelse med virkeligheden. Denne matematiske idealisation har ikke desto mindre vist sig frugtbar i andre sammenhænge, eksempelvis i den ideale gasmodel, hvor man også antager, at 'gaspartiklerne' er uden udstrækning.
For at gøre modellen lidt mere fysisk kan vi antage, at protonen og elektronen har en udstrækning lig med elementarlængden.
Coulombs elektrostatiske kraftlov, som vi vil gøre brug af, gælder for punktladninger.

Elektronens kvanteenergi
Elektronens mekaniske energi Em kan skrives:

(7)

hvor me er elektronens hvilemasse, v dens diskontinuerte hastighed i en bestemt 'kvantebane', kc coulombkonstanten, e det elektriske elementarkvantum og r den gennemsnitlige 'kvanteradius'.

For at elektronen kan bevæge sig i en lukket bane skal den være påvirket af en 'centripetalkraft' rettet ind mod protonen. Denne kraft udøves af den tiltrækkende elektriske coulombkraft fra protonen. Vi kan således opskrive Newtons 2. lov for elektronens bevægelse sådan:

(8)

Højresiden af ligning (8) er udtrykket for den elektriske coulombkraft. Ved benyttelse af ligning (8) kan vi omforme ligning (7) til:

(9)

Ved indsættelse af det kvantiserede hastighedsudtryk fra (5) fås:

(10)

hvor elektronens masse me er udtrykt som en hel del af universets totale masse M0 således:

(11)

hvor vi vil kalde nm massekvantetallet. Vi omformer sluttelig til:

(12)

hvor vi kan kalde ne for elektronens kosmiske energikvantetal,
Af ligning (12) ser vi følgende: Elektronens kvanteenergi i en bestemt kvantebane er lig med en bestemt brøkdel af universets totale energi, hvilket er en logisk rimelighed.
At energien er negativ viser, at elektronen er i en 'bunden' kvantebane, og i øvrigt er fortegnet bestemt af valget af nulpunkt for den elektrisk potentielle energi.

Da lyskonstanten c0 er lig med forholdet mellem elementarlængden og elementartiden, ser vi følgende af ligning (12): Atomets kvanteenergi er bestemt af elementarlængden, elementartiden og universets totale masse. Dertil kommer et systemafhængigt kvantetal. I ligning (12) er ne atomets kosmiske energikvantetal.
I Niels Bohrs kvanteenergiformel indgår elektronens masse, dens elektriske ladning, Plancks konstant og coulombkonstanten; størrelser der er karakteristiske for det atomfysiske niveau, og som ikke er af så fundamental natur som dem, jeg har benyttet i min udledning.

Da universets totale masse er omkring 1,6 · 1060 kg (se min kvantekosmologi), altså et uhyre stort tal, er det kosmiske energikvantetal også et uhyre stort tal, af størrelsesordenen 1095. Praktisk regning med sådanne store tal er omstændelig, så derfor kan vi af praktiske grunde igen indføre hvilemassen af en elektron i ligning (12).
Mit formål med de foregående udledninger har været at vise de holistiske sammenhænge i vort univers. Jeg vil formulere det sådan: Alt bestemmer alt!!

Kvantefysisk udledning af Rydbergformlen
Jeg har andetsteds foretaget en kvantefysisk behandling af den empirisk fundne, såkaldte Rydbergformel. I dette afsnit vil jeg give en kvantefysisk udledning af denne.
Vi betragter to energitilstande i atomet E1 og E2 givet ved:

(13)

Brøkforholdet mellem disse energier giver:

(14)

hvor ne,1/ne,2 angiver forholdet mellem elektronens kosmiske energikvantetal. Dette brøkforhold er på den anden side bestemt ved:

(15)

altså kvadratet på forholdet mellem de rationelle hastighedskvantetal, svrende til elektronens hastighed i de to tilstande.
Vi kan nu udtrykke forholdet mellem disse hastighedskvantetal ved rumkvantetal, der kun kan antage naturlige tal, dvs. 1, 2, 3, ... osv.
Hvis en elektron befinder sig i den højere energitilstand E2, vil den i et kvantespring 'søge' ned til den lavere energi E1. Under denne proces skal der gælde impulsmomentbevarelse, dvs. produktet af elektronens masse, hastighed og afstand fra kraftcentret skal være konstant. Der skal altså gælde; idet det antages, at en foton udsendes 'radiært':

(16)


Udtrykkes hastighederog afstande ved de kvantiserede størrelser, fås:

(17)

hvor er hastighedskvantetallet, og nr er rumkvantetallet. Benyttes dette udtryk i ligning (15), får vi:

(18)

Benyttes dette udtryk i ligning (14), får vi en sammenhæng mellem kvanteenergierne og rumkvantetallene. Vi kan således skrive:

(19)

Da atomets laveste energitilstand E1 svarer til et rumkvantetal nr1 = 1 kan vi skrive ligning (19) på følgende måde:

(20)

hvor de højere energitilstande fås, når man sætter nr2 lig med 2, 3, 4, osv.    Det bemærkes, at energierne er negative, hvilket kan ses af formel (13), og hvilket svarer til bundne tilstande af elektronen.

Hvis en elektron overgår fra eksempelvis den højere energitilstand E2 til den lavere energitilstand E1, vil energiforskellen blive udsendt som en foton. Da disse to energitilstande svarer til rumkvantetallene nr1 = 1 og nr2 = 2, kan vi skrive:

(21)

hvor Ef angiver den udsendte fotons energi. Ligning (21) udtrykker således blot kravet om energibevarelse.
Den numeriske værdi af E1 er lig med ioniseringsenergien, dvs. den positive energi, der skal tilføres atomet for at løsrive en elektron fra energitilstanden E1. For at kunne beregne atomets energitilstande kræves blot en måling af atomets ioniseringsenergi.

Vi kan nu skrive (21) på en generel måde, svarende til rumkvantetallene nr1 og nr2. Der gælder:

(22)

I ligning (22) er Eion den målte ioniseringsenergi for et virkeligt atom. Energien af en udsendt foton kan da beregnes ved at sætte de naturlige tal m1 og m2 til henholdsvis: m1 = 1, 2, osv. og m2 = m1 + 1

Ligning (22) er formelt identisk med de formler, som Balmer og Rydberg fandt frem til på rent empirisk grundlag, idet de ikke kunne begrunde dem som en konsekvens af fundamentale fysiske forhold i vort univers.

Det skal bemærkes, at de foregående udledninger er baseret på 'punktladninger', og dette resulterer i ikke-realistiske geometriske forhold. I en mere realistisk model må man tage hensyn til partiklernes udstrækning, hvilket giver et andet matematisk udtryk for Coulombenergien. Ligeledes må man tage hensyn til de magnetiske energiforhold, der forårsages af elektronens og protonens henholdsvis banebevægelse og spinbevægelse. Hvis disse energibidrag medtages i beregningerne, vil man også kunne redegøre for hydrogenspektrets såkaldte finstruktur og hyperfinstruktur.

Til slut vil jeg igen betone, at de foregående udredninger skal vise, at kvanteaspekterne i vort univers er forårsaget af den fundamentale kvantisering af rum, tid og masse, og at denne kvantisering er bestemt af vort univers' endelige masse. »Delen er bestemt af helheden!« — »Det mindste er bestemt af det største!«

2/1-1997
Louis Nielsen

LNi@Herlufsholm.dk

  Næste artikel

Hovedsiden